Divisibilité par 9 - Corrigé

Énoncé

Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) ,  \(7^n-4^{2n}\) est divisible par \(9\) .

Solution

Soit \(n \in \mathbb{N}\) .

On a \(4^2=16 \equiv 7 \ [9]\) donc \(4^{2n}=(4^2)^n \equiv 7^n \ [9]\) .

Par conséquent : \(7^n-4^{2n} \equiv 7^n-7^n \equiv 0 \ [9]\)  donc \(7^n-4^{2n}\) est divisible par \(9\) .